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Montag, den 30. Mai 2005

Futter für meine »Grapher«-Experimente

Hier gibts einige Videos mit mathematischen Visualisierungen. [Mathematische Kleinigkeiten]

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Dienstag, den 24. Mai 2005

Mathematische Visualisierungen

Zwar bin ich momentan noch immer von Grapher hellauf begeistert, aber auch dies hört sich nicht uninteressant an: 3D-XplorMath (frei wie Freibier) »is a mathematical visualization program for Macintosh computers running version 9 or later of MacOS.« Es besitzt nicht die Einfachheit und intuitive Bedienung von Grapher, kann dafür aber auch eindeutig mehr. Und — ich habe es getestet — auch wenn es auf der Website nicht ganz klar wird, das Teil läuft native (vermutlich als Carbon-Application) unter MacOS X. [Bonobo per Email.]

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Donnerstag, den 12. Mai 2005

Mathematikgeschichte(n)

Die Netzeitung über Rudolf Taschners neues Buch Der Zahlen gigantische Schatten: »Die Mathematikgeschichte hat immer etwas zu erzählen. Rudolf Taschner widmet den gigantischen Schatten der Zahlen eine historische Untersuchung.« Haben wollen! [Netzeitung.de Bücher]

Rudolf Taschner: Der Zahlen gigantische Schatten, Braunschweig (Vieweg) April 2005

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Mittwoch, den 11. Mai 2005

Bouteille de Klein

Die Kleinsche Flasche, benannt nach Felix Klein, ist ein geometrisches Objekt. Umgangssprachlich formuliert, hat es die Eigenschaft, daß innen und außen nicht unterschieden werden können oder anders formuliert, hat es nur eine einzige Seite, die innen und außen gleichzeitig ist. Dies wird in der Mathematik eine nicht-orientierbare Fläche genannt.

Der Name »Kleinsche Flasche« ist aus einem Übersetzungsfehler ins Englische entstanden. Die ursprüngliche Bezeichnung dieses Objekts war im Deutschen Kleinsche Fläche. Das wurde allerdings falsch ins Englische mit Klein Bottle (Flasche statt Fläche) übersetzt. Nachdem sich diese Bezeichnung durchgesetzt hat, wird nun auch im Deutschen der Begriff Flasche verwendet. [Wikipedia]

Es gibt verschiedene Parametrisierungen der Kleinschen Flasche, für die Darstellung in Grapher habe ich folgende gewählt:

• Gleichung 1:
• x = (a (1 + sin u) + r(u) cos v) cos u
• y = (b + r(u) cos v) sin u
• z = r(u) sin v
• u = 0 .. 2 Pi, v = 0 .. 2 Pi
• Gleichung 2:
• x = a (1 + sin u) cos u - r(u) cos v
• y = b sin u
• z = r(u) sin v
• u = Pi .. 2 Pi, v = 0 .. 2 Pi
• Dabei ist:
• r(u) = c (1 - (cos u)/2)
• a = 3, b = 4, c = 2

Die Gleichungen lassen sich wiederum fast genauso wie hier angegeben in Grapher eintippen. Dabei kommt uns zugute, daß Grapher durchaus mehrere Gleichungen in einem Graphen darstellen kann. (Um dies zu demonstrieren, habe ich die obige Darstellung ja extra gewählt — es gibt nämlich auch einfachere.) Ihr könnt aber auch die Datei hier herunterladen (Grapher-Datei, ca. 600 KB) und als Ausgangspunkt für eigene Experimente verwenden.

Und diese französische Seite hat mich auf die Idee mit der Darstellung der Kleinschen Flasche in Grapher gebracht. Eine Sonderform der Kleinschen Flasche, die Banchoff-Kleinsche Flasche hatte ich mit Hilfe des freien Raytracers Persistance of Vision (PoV-Ray) schon einmal visualisiert.

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Montag, den 9. Mai 2005

Pferdesattel, Affensattel und Hundesattel

In der Mathematik wurden immer wieder sprechende Ausdrücke gesucht, um geometrischen Gebilden einen Namen zu geben. Dabei fand manchmal ein Wechsel des Point of View statt. Während zum Beispiel ein Pferdesattel der bekannte Sattel ist, den man einem Pferd aufschnallt, ist ein Affensattel ein Sattel für einen Affen, der zum bequemen Reiten einen Sattel braucht, der es ihm ermöglicht, seinen Schwanz herabhängen zu lassen. Analog dazu ist ein Hundesattel ein Sattel, auf dem ein Hund seine vier Beine herabhängen lassen kann (was der mit seinem Schwanz macht, war den Wortschöpfern wohl völlig egal, vielleicht gingen sie von einem kupierten Rottweiler aus).

Pferdesattel	Affensattel	Hundesattel

[Alle Bilder wurden mit Grapher ohne zusätzliche Programme erstellt. Ein Klick auf die Thumbs öffnet Vergrößerungen in einem neuen Fenster.]

Auch die Frage, auf welch ein Tier man einen Affensattel aufschnallen kann, ist den wortschöpfenden Mathematikern völlig gleichgültig. Es wird schon welche geben, denn einige Reittiere aus Star Wars sehen durchaus so aus, als ob man ihnen einen Affensattel verpassen könnte.

Wie dem auch sei, die Gleichungen für alle drei Sattelarten sind relativ simpel:

1. Pferdesattel: z = f(x, y) = x² - y²
2. Affensattel: z = f(x, y) = x³ - 3x y²
3. Hundesattel: z = f(x, y) = 4x³ y - 4x y³

Die Gleichungen können im Prinzip so, wie sie oben stehen, in Grapher eingegeben werden, unter Darstellung > Rahmenbegrenzung... setzt man die Intervalle für x, y, und z von -1 bis 1 und wenn man auf das »i« rechts oben klickt, kann man für die Flächen die Farbstellung von »Schachbrett« auf »Höhe« umstellen und erhält so eine Art farbiges Höhenprofil, wie man es z.B. von Landkarten kennt.

Wieder ein Beispiel mehr, wie man Spaß mit Grapher haben kann...

[Literatur]: Ralf Schaper: Grafik mit Mathematica. Von den Formeln zu den Formen, Bonn (Addison-Wesley) 1994.

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Donnerstag, den 5. Mai 2005

Mathematik macht Spaß

Das beweist auch die Deutsche Welle mit ihrem Artikel zur Höheren Pflanzen-Mathematik. Es geht um den »Goldenen Winkel«, den »Goldenen Schnitt«, die »Fibonacci-Zahlen« und die Transzendenz der Zahl »Phi«. Und alles wird von Ingun Arnold nett und allgemeinverständlich erklärt. Lesenswert! [Gabi]

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Mittwoch, den 4. Mai 2005

Grapher Rulez

Dieses neue — leider bisher noch nirgends dokumentierte — Programm zur Visualisierung mathematischer Gleichungen fasziniert mich mehr und mehr. Wenn wir z.B. eine parametrische Gleichung der Form x = f(uv), y = g(uv), z = h(uv) darstellen wollen, dann wählen wir im Menü »Gleichung« einfach »Neue Gleichung aus Vorlage...« und dann »Kartesische Gleichung« aus. Damit bekommen wir ein Template, in das wir unsere Parameter nur noch einsetzen müssen. Als Beispiel habe ich die Steinbachsche Schraube (Steinbach Screw) ausgewählt und die sieht dann so aus:

Die Steinbach Screw basiert auf folgender parametrischer Gleichung:

• f(u, v) = u cos(v)
• g(u, v) = u sin(v)
• h(u, v) = v cos(u)

In unserem Fall läuft u von -4 bis bis 4 und v von 0 bis 2 Pi, damit kann man aber spielen. Auf -8 < u < 16 und 0 < v < 4 Pi geändert, erhaltet Ihr ein dreidimensionales Mandala-ähnliches Gebilde. Weitere Ergebnisse überlasse ich Eurem Spieltrieb.

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Dienstag, den 3. Mai 2005

Anschauliche Mathematik: Grapher ist da (sagt der Tiger)

Für mich schon alleine ein Grund für das Update auf Mac OS X Tiger: Irgendwo im Ordner »Programme« und dann im Unterordner »Dienstprogramme« verbirgt sich schamhaft das Programm »Grapher«. Dabei hätte es das gar nicht nötig. Nun gut, es ist nicht Mathematica, aber es kann eine ganze Menge. Warum es auf Apples Webseiten noch nicht »gefeatured« wird, ist mir unverständlich. Das Programm ist eine Perle!

Beim Erstellen des Screenshots fiel mir dann auf, daß diese per Default nun als .png und nicht mehr als PDF erstellt werden. Dieser Schritt Apples in Richtung auf offene Standards ist auf jeden Fall zu begrüßen.

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Statistik mit R

Immer mehr wissenschaftliche Anwendungen finden den Weg nach Aqua. Auch »R« (GPL), die Statistik-Umgebung, die kaum einen Wunsch offen läßt, zeigt sich nun in einem attraktiven Cocoa-Gewand (Download, .dmg, 21 MB):

Die Installation ist Mac-typisch einfach, ein Doppelklick auf den Installer reicht. Über »R« hatte ich schon mehrfach berichtet. Im Netz sind einige nette Tutorials verfügbar:

• Joseph Adler: Analyzing Baseball Stats with R.
• David Mertz: Statistical Programming with R, Part 1. Dabbling with a wealth of statistical facilities und Part 2. Functional programming and data exploration.
• Luis Torgo: Data Mining with R (Download, , 1,7 MB).

Und auch auf den Seiten von »R« selber finden sich Manuals, Tutorials und andere Handbücher (frech aus dem Frame heraus verlinkt). Wer lieber in Python programmiert, der sollte einmal RPy, eine simple, aber robuste Python-Schnittstelle zu »R« ausprobieren.

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Montag, den 2. Mai 2005

Zahlentheorie

Enthält die Zahl Pi ein geheimes Muster? »Pi galt bislang als besonders gute Zufallszahl. Doch die Untersuchungen von Tu und Fischbach stellen dies nun in Frage. Die beiden Physiker verglichen Pi mit 30 Software-Zufallsgeneratoren und einem Chaos-erzeugenden physikalischen System. Pi schnitt dabei zwar generell gut ab, die Softwaregeneratoren erwiesen sich jedoch als noch besser im Würfeln von Zahlenreihen, schreiben die Forscher im Fachblatt International Journal of Modern Physics C (Ausg. 16, Nr. 2). Zwar glauben die Forscher bisher nicht, dass ihre Entdeckung bedeutet, dass es ein Muster in der Ziffernfolge von Pi gibt. Doch ganz ausschließen können sie es nicht. Um dem seltsamen Phänomen auf den Grund zu gehen, empfehlen die Forscher deshalb weitere Untersuchungen. Fischbach wies außerdem darauf hin, dass bei den Studien an seiner Universität nur ein Prozent der heute bekannten Pi-Nachkommastellen analysiert worden sei.« [Spiegel Online]

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