Die Reise nach Fraktalien

Aus dem Nachlaß des Gazette-Reporters Ned Malone.

Die folgende unglaubliche Reise (bei der wir London nie verließen) unternahmen wir kurz nach unserer Rückkehr aus Afrika, wo Professor Challenger und ich die Saurier der Vergessenen Welt entdeckten. Ich hatte gerade mit Hilfe meines Freundes Sir Conan Doyle unseren Reisebericht fertiggestellt und bei einem angesehenen Londoner Verlag veröffentlicht. Da rief mich aufgeregt mein Freund und Mitabenteurer Prof. Challenger zu sich: "Mr. Malone, kommen Sie sofort zu mir!" Aus Erfahrung wußte ich, daß man, wenn mein Freund so aufgeregt war, ihm besser nicht widersprach. So nahm ich die nächste Droschke nach Kensington und traf einen immer noch aufgeregten Professor.

"Mr. Malone", rief er mir zu, ohne sich um die bei einer Begrüßung üblichen Höflichkeitsfloskeln zu kümmern, "haben Sie so etwas schon einmal gesehen?" Dabei wedelte er mir mit einem Blatt Papier vor die Nase, auf der ein sanftes Tal zu entdecken war.

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"Verehrter Freund", antwortete ich, "was ist daran so aufregend?" "Sie Ahnungsloser!", brüllte mein cholerischer Freund und sein gerötetes Gesicht zeigte mir, daß sein Blutdruck einmal wieder schwindelerregende Höhen erreicht hatte, "dies ist ein ganz neuer Zugang zu den Geheimnissen der Mathematik, gewissermaßen eine Reise in unentdeckte mathematische Gefilde, viel aufregender und spannender als unsere Reise zu den Sauriern." Ich mußte etwas sagen, das ihn besänftigte: "Verehrter Professor, verzeihen Sie meine Unwissenheit, aber sind Sie nicht Biologie? Seit wann interessieren Sie sich für Mathematik?" "Sagt ihnen der Name Sir William Reynolds etwas?", fragte der Professor zurück. "War das nicht der geniale Erfinder der Zeitmaschine?" fragte ich zurück, "der, der angeblich nach einer Zeitreise verschollen ist?" "Ja", antwortete der Professor, spürbar besänftigt, "und man hat mir den Nachlaß übertragen, und da habe ich eine Maschine entdeckt, die aufregender ist, als jede Zeitmaschine, eine Maschine, mit der man die Länder der Mathematik erkunden kann. Folgen Sie mir in mein Arbeitszimmer, verehrter Freund, und ich werde Ihnen alles erklären."

Immer wenn Challenger mich "verehrter Freund" nannte, wußte ich, daß er sich wieder beruhigt hatte. Also folgte ich ihm in das oberste Stockwerk. Auf der Treppe entdeckte ich eine weitere Abbildung. Diese sah wie ein Hohlweg oder eine Rinne aus.

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"Kommen Sie, junger Freund", rief der Professor ungeduldig von der Treppe, "und bringen Sie die Blätter mit. Ich werde Ihnen oben alles erklären." Ich folgte ihm ins Zimmer, wo eine seltsame Maschine stand. "Dies ist die mathemagische Maschine", erklärte Challenger stolz, "mit ihr kann man die unglaublichsten Reisen unternehmen." "Mit dem kleinen Ding?" fragte ich ungläubig. Die Maschine maß höchsten vier Fuß im Durchmesser. Sie war aus blankpoliertem Messing und wies eine unglaubliche Anzahl von Einstellrädchen und Schrauben auf. Über ihr war ein Aufsatz, der aus einer dieser neumodischen Kathodenstrahlröhren (die vor kurzem ein gewisser Italiener namens Marconi entwickelt hatte) und einer ebenfalls in Messing gefaßten getönten Glasscheibe bestand.

Die Stirnadern meines Freundes schwollen schon wieder bedenklich an. "Dieses kleine Ding", äffte er mich höhnisch nach, "ist unser Fenster zu einer unglaublichen, nie gesehenen Welt." Er redete sich in Rage. "Nehmen Sie zum Beispiel die Zeichnung, die ich Ihnen im Eingang gezeigt habe. Sehen Sie hier?" Er drehte an den Einstellschrauben. "Sagt Ihnen der Begriff komplexe Zahlen etwas?" "Na hören Sie mal", antwortete ich, nun ebenfalls leicht entrüstet (aber nur ein wenig, das Ganze begann, mir höllischen Spaß zu bereiten), "ein bißchen habe ich in der Schule doch aufgepaßt." Es freute mich immer ein wenig, wenn mein reizbarer Freund in Rage geriet. "Na gut", meinte Challenger, spürbar besänftigt. "Das was sie jetzt sehen werden, ist das Tal der Abbildung x + yI". Der Professor legte einen Schalter um, die Maschine funkte ein bißchen, dann erstrahlte die Kathodenröhre und auf der Glasscheibe zeichneten sich tatsächlich die Umrisse der kegelförmigen Landschaft ab, die mir der Professor am Eingang gezeichnet hat. "Phantastisch!" rief ich aus. "Na, ja", antwortete mein nun sehr sanft wirkender hünenhafter Freund, "dies ist erst der Anfang." Die Maschine beruht auf dem Prinzip der analytischen Maschine von Charles Babbage und Sir Reynolds hat wirklich großartiges geleistet. Schauen Sie her: Was passiert, wenn wir den Sinus über die Funktion legen, also uns sin(x + yI) anschauen?" Wieder drehte der Professor an einigen Rädchen, die Maschine sprutzelte ein bißchen vor sich hin und auf der Glasscheibe war die Rinne zu sehen, genau die Zeichnung, die ich auf der Treppe gefunden hatte. "Dies ist der Eingang zum Geheimnis Fraktaliens", fuhr der Professor fort. "Fraktalien," fragte ich ungläubig zurück, "wo liegt denn das?" "Geduld", antwortete mein Freund, "sehen Sie, was passiert, wenn wir wiederum den Sinus über die Funktion legen, also sin(sin(x + yI)) uns anschauen." Wieder drehte er an einigen Einstellschrauben, wieder sprutzelze es ein bißchen in der Maschine. Ich sah nun, daß sie von einigen der voltaischen Elemente gespeist wurde, die in großen Bleibehältern unter dem Tisch standen. Die Maschine mußte also irgendwie etwas mit diesem neumodischen Magnetismus zu tun haben, den die Forscher Elektrizität nannten. Einen Moment war ich abgelenkt. Als ich wieder auf die Glasscheibe sah, entdeckte ich etwas unglaubliches, einen Wüstenlandschaft.

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"Phantastisch!" rief ich aus, "dies muß die Heimat von Fantomas sein." Ich spielte damit auf das maskenförmige Gesicht an, das man in der Mitte des Tales sah. "Außerdem", fuhr ich fort, "was bedeuten die Tafelberge an den Seiten?" "Das ist ein Trick", sagte der Professor, "ich habe an diesen Rädchen eingestellt, daß der absolute Wert unserer Funktion nicht über einhundert Yard wachsen soll. Aber dies ist erst der Anfang, was meinen Sie, was passiert, wenn wir einen weiteren Sinus über die Funktion legen, wenn wir uns also von der mathemagischen Maschine die Märchenlandschaft der Funktion sin(sin(sin(x + yI))) zeigen lassen?"

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Wieder drehte der Professor an den Schrauben. Diesmal bruzzelte die Maschine so lange vor sich hin, daß ich schon befürchtete, sie wäre bei den Experimenten zerstört worden. Dann baute sich langsam vor uns eine Landschaft aus, die aussah wie ein versteinerter Märchenwald. Ich war hingerissen. Auch der Professor zeigte eine ihm seltene Fröhlichkeit, ja nahezu eine Ausgelassenheit. "Sehen Sie, junger Freund", rief er aus, "ist dies nicht phantastisch? Dies ist eine Erfindung, die es mit jeder Zeitmaschine aufnehmen kann. Ich habe, um die Maschine zu verstehen, extra in Paris bei den Professoren Gaston Julia und Henry Poincaré noch einmal Mathematikvorlesungen gehört. Denn wie Sie vorhin zu Recht bemerkten, bin ich von Hause aus Biologe und uns Biologen sagt man ja gemeinhin eine gewisse mathematische Ignoranz nach. Aber", fuhr er fort, "um Ihre Frage von soeben zu beantworten. Ich habe wegen dieser gebrochenen Kanten diesen mathematischen Winkel Fraktalien genannt, nach dem lateinischen fractus, das ja bekanntlich gebrochen heißt." Ich mußte innerlich zugeben, das meine Lateinkenntnisse mehr als verschüttet waren, hütete mich aber, dies dem Professor gegenüber zuzugeben um seine gute Laune nicht zu verderben. "Sehen sie", sagte er, "was passiert, wenn wir die Inverse berechnen." Jetzt mußte ich meine Unkenntnis zugeben: "Die Inverse?" "Ja", sagte der Professor, "wir lassen die Maschine jetzt 1/(sin(sin(sin(x + yI)))) berechnen."

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Wieder brauchte die Maschine sehr lange zur Berechnung. Was dann geschah, sah tatsächlich ein bißchen wie die Maske des Fantomas aus. Ich war beeindruckt. "Weiter, Herr Professor", rief ich aus, "können wir nicht noch einen Sinus über die Funktion legen?" "Sachte, mein Freund, die Tafelberge des Märchenwaldes sind schon eine Millionen Yard hoch. Mit weiteren Iterationen sprengen wir die Rechenkraft dieser Erfindung. Aber was machen Ingenieure, wenn Ihnen die Zahlen zu groß werden?" Ich haßte es, wenn mein Freund so professoral fragte. Er wußte doch genau, daß ich nichts von Mathematik verstand, ich war Journalist geworden, um nie mehr wieder etwas mit Zahlen zu tun zu haben. Also zuckte ich mit den Schultern. "Na, er legt einen Logarithmus darüber", belehrte mich gönnerhaft der Professor, "und genau dies können wir doch auch versuchen." Aber vorher können wir uns das Ganze doch einmal aus der Vogelperspektive wie eine Landkarte anschauen.

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Während sich langsam auf der Glasscheibe der mathemagischen Maschine ein phantastischer Teppich abzeichnete, kehrte unser Professor wieder zu unserem vorigen Problem zurück. Er schnappte sich ein Blatt Papier und einen Bleistift und schrieb folgende Formel auf: ln(ln(sin(sin(sin(x + yI))))). Nachdem er die letzte Klammer geschlossen hatte, stöhnte er: "Ich sollte solche Formeln erst benutzen, wenn das Klammerschlußgesetz in Kraft getreten ist." "Klammerschlußgesetzt?" fragte ich verständnislos. Der Professor sah mich genau so verständnislos an: "Das war ein Scherz, junger Freund", grummelte er. Ich war überrascht. Die Maschine schien meinen langjährigen griesgrämigen Freund regelrecht euphorisiert zu haben. In den ganzen Jahren unserer Bekanntschaft hatte er noch nie einen Scherz gemacht.

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Während ich noch darüber nachgrübelte, hatte der Professor schon wieder an den Rädchen und Schräubchen der Maschine gedreht. Was dann auf dem Bildschirm zu sehen war, erschreckte mich. "Das ist ja ein Alptraum", entfuhr es mir. Challenger schien es zu amüsieren. "Das ist noch gar nichts", grinst er vor sich hin, "warten Sie nur ab, was passiert, wenn ich nun, Ihrem Vorschlag folgend, einen weiteren Sinus hinzufüge." Wie, um mich zu ärgern, kritzelte er das Formelmonster ln(ln(sin(sin(sin(sin(x + yI)))))) auf das Blatt Papier. Jetzt verstand auch ich den Witz mit dem Klammerschlußgesetz. Der Professor drehte diesmal sehr lange an den Rädchen herum. Dann baute sich im Glasfenster folgende Zeichnung auf:

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"Dies ist wirklich ein Monster", fuhr der Professor fort. "Nicht einmal die mathemagische Maschine ist in der Lage, dieses direkt zu berechnen. Ich mußte hier auf einen Trick zurückgreifen, der uns von Lady Ada Lovelace, der Lebensgefährten Charles Babbages, überliefert wurde. Sie nannte es programmieren. Mit Hilfe fortgesetzter Iterationen wird eine Näherung der Funktion erzeugt, ähnlich wie bei einer Taylorreihe." Ich verstand nur noch Bahnhof. "Aber lassen Sie uns ausprobieren", fuhr er fort, "was passiert, wenn wir immer wieder über den Sinus iterieren und dann festhalten, welche Punkte unserer imaginären Landkarte entweder größer und größer werden und welche Punkte selbst nach hundert Iterationen einen Fluchthöhe von sagen wir einmal 10.000 Yard nicht erreichen." Ich verstand immer noch nur Bahnhof, während der Professor schon wieder an den Rädchen der mathemagischen Maschine drehte.

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Das Bild, das nun auf der Glasscheibe zu sehen war, unterschied sich doch von den vorhergehenden. Es wirkte eher wie ein Tafelberg. Ich teilte dem Professor diese Beobachtung mit. "Lassen wir das", sagte er, "sehen Sie einfach zu, was passiert, wenn wir uns diese phantastische Landschaft aus der Vogelperspektive ansehen." Und schon wieder drehte er an den Rädchen der Maschine herum, die Landschaft auf der Glasscheibe drehte sich ebenfalls, bis folgendes Bild zu sehen war:

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"Jetzt sind wir in Venedig", rief ich aus, als das Bild sich klarer abzeichnete. "Dies ist die Silhoulette von San Marco, die sich in der venezianischen Lagune spiegelt." Irgendwie schien Professor Challenger mit dieser Interpretation nicht einverstanden zu sein. "Sie haben keine Ahnung, was hier passiert", blaffte er mich an. "Sie sehen hier die Entdeckung einer völlig neuen Mathematik. Und nur mit Hilfe der mathemagischen Maschine ist diese Forschungsreise möglich. Lassen Sie mich die Sache noch einfacher erklären. Halten wir uns nicht länger mit der Sinus-Funktion auf. Was glauben Sie, was geschieht. wenn wir die gleiche Iteration auf eine ganz einfache Funktion, sagen wir einmal z = x + yI anwenden?" Wieder einmal mußte ich meine mathematische Unkenntis eingestehen, aber der Professor hörte nicht einmal zu. Wie wild drehte er an den Schräubchen und Rädchen der mathemagischen Maschine. Nach sehr langer Zeit, die Maschine schien bis zur Erschöpfung zu arbeiten, sahen wir das Bild eines Tafelberges im Abendrot.

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"Was für eine seltsame Form", rief ich aus. "Die Figur erinnert mich an die Lebkuchenmännchen meiner Kindheit." "Sie haben recht", antwortete mein Freund, der wieder etwas versöhnt schien. "Ich habe das Gebilde Apfelmännchen genannt. Es steckt voller seltsamer Eigenschaften. Betrachten Sie die Ränder dieses Tafelberges. Je näher wir herankommen, desto zerklüfteter scheinen Sie zu sein. Lassen Sie uns einen Ausschnitt in der Nähe des Halses betrachten." Wieder drehte der Professor an den Rädchen der mathemagischen Maschine, erneut verdunkelte sich die Glasscheibe um dann den Blick auf ein wunderschönes spiralförmiges Tal freizugeben.

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Ich beglückwünschte den Professor zu seiner Entdeckung. "Dies ist das Seepferdchental", sagte er. "Wieso Seepferdchen?" fragte ich. "Das zu erläutern, reicht leider die Kapazität der mathemagischen Maschine nicht aus", war seine Antwort, "wir werden noch viele Jahre brauchen, bis wir in der Lage sind, all diese Geheimnisse der Mathemagie zu verstehen. Bis dahin bitte ich Sie, auch kein Sterbenswörchen über unsere Entdeckung verlauten zu lassen. Sie erinnern sich doch, mit wieviel Hohn und Spott ich übergossen wurde, nachdem ich von der Entdeckung des Sauriertals berichtet habe. Ich möchte das nicht noch einmal durchmachen. Doch seien sie sicher, die Zukunft wird mir Recht geben. Dann wird die Welt wissen, daß ich, Professor George Edward Challenger, nicht nur der Welt größter Zoologe und Bakteriologe bin, sondern auch auf dem Gebiet der Mathematik Außergewöhnliches vollbracht habe." Ich sah meinen Freund ungläubig an. "Na gut", sagte er noch mit einem ihm eigentlich völlig fremden Anflug von Großmut, "die Herren Julia und Poincaré haben ihr Scherflein ebenfalls zu diesen Entdeckungen beigetragen."

Nachtrag des Herausgebers:

Die mathemagische Maschine ist leider verschollen. Ich habe daher die Reise mit dem Programm MuPAD nachvollzogen. MuPAD ist ein Software-Paket für symbolische Mathematik, das es durchaus mit den bekannten Boliden Mathematica und Maple aufnehmen kann. Und MuPad ist kostenlos über die Universität Paderborn zu erhalten und auf allen gängigen Fenster-Systemen (Windows95/NT, Macintosh und X-Windows) lauffähig. Näheres siehe im Internet unter www.mupad.de.

Folgende Literatur hat mich zu diesem Aufsatz inspiriert:

1. Doyle, Sir Arthut Conan: The Professor Challenger Stories. The Lost World, London 1912. Dies ist die Originalgeschichte der Reise Professor Challengers zu den Sauriern. Ohne diese Reise hätte es Jurassic Parc nie gegeben.
2. Gray, Theodore W. and Jerry Glynn: Exploring Mathematics with Mathematica, Redwood City CA, 1991. Diesem Buch verdanke ich die Anregung zur Programmierung der Sinus-Landschaften. Ich wollte zeigen, das dies auch in MuPAD möglich ist.

Und hier gibt es den Quellcode der MuPAD-Programme.

© 1997 by Jörg Kantel | Erstveröffentlichung: 31. Dezember 1997